1.概述

在本教程中,我们将讨论剪切属性最小生成树

此外,我们将给出几个切割的例子,并讨论了最小生成树中切割性质的正确性。

2.切割的定义

在图论中,切面可以定义为将图分成两部分的分割不相交的子集

让我们正式定义一个切割。减少C = (s_1, s_2)在连通图中G (V, E),分割顶点集V分成两个不相交的子集S_1,S_2

在图论中,有一些与切割相关的术语将在讨论中出现:切割集、切割顶点和切割边。在进一步讨论之前,让我们在这里讨论一下这些定义。

一套一套的剪C (S_1、S_2)连通图的G (V, E)可以被定义为有一个端点的边的集合吗S_1另一个在S_2。例如C (S_1、S_2)G (V, E) = \ {(i, j)在E | j \ \ S_1、S_2 j \ \}

一个顶点V_c如果存在连通图,割点是否存在G (V, E),删除V_cG断开连接,图。

一条边E_c一个连通图的切边是什么G (V, E)如果在E E_c \G - E_c断开连接的图。

3.例子

在本节中,我们来看一个切割的例子。我们还将演示如何找到一个切割集,切割顶点和切割边。

首先,让我们看一个连通图:

在这里,我们已经采取了G (V, E)在哪里V=(v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7)E=(e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9)。现在我们来定义一个切线C (S_1、S_2)在一个G:

这里是切口C断开连接图G把它分成两个部分S_1S_2

现在我们来讨论切割顶点。根据定义,去除切割顶点将断开图的连接。如果我们观察这个图G \ mathbf {},我们可以看到有两个切割顶点:\ mathbf {V3}\ mathbf {4}让我们验证这一点。首先,我们去掉顶点V3G:

我们可以看到顶点的移除V3断开连接图G把它分成两个图。因此,我们验证了这一点V3切割顶点在里面吗G。现在我们移除顶点V4G:

移开的时候V4G,它会断开图表并创建两个图表。因此,V4切割顶点也在吗G

我们来谈谈前沿。雷竞技app官网网站根据定义,如果我们删除一条切边,它将断开图的连接,从而得到两个或多个子图。G \ mathbf {},它的边缘很容易看到\ mathbf {E4}是刀刃。如果我们删除E4G,它会破坏图表G分为两个子图:

接下来是剪切集。一个割的割集定义为两个端点在两个图上的一组边。这里是一组切痕\ mathbf {C (S_1、S_2)}G \ mathbf {}\ mathbf \ {E4 \}。我们可以看到一个端点E4属于S_1另一个端点在S_2

4.Cut的变体

切割有两种流行的变体:最大切割和最小切割。在本节中,我们将通过一个示例讨论这两个变体。

加权连通图中同时存在最小割和最大割。最小割是那些被移除的连不上图的边的最小权值之和。类似地,最大割是那些被移除的连接图的边的最大权值之和。

让我们找出最大和最小割:

这里我们取一个连通加权图G_1里面(V_1, E_1)。我们在一个图中定义了4个切线G_1里面

根据定义,我们将每个切边的权值求和。让我们先从减少1。总边缘权重减少1 =权的和E1 e3 e10 = 2 + 2 + 4 = 8。这样,重量的切二,切三,减少46、7

因此,最小的削减是\ mathbf{削减3}重量为6最大插口\ mathbf {G_1里面}\ mathbf{削减2}作为边权值的和\ mathbf{削减2}比其他所有的削减都要大吗\ mathbf {G_1里面}

5.最小生成树中的割属性

5.1。声明

现在我们知道一条切线将一个图的顶点集分割成两个或更多个顶点集。割集包含一组边,这些边的一个端点在一个图中,另一个端点在另一个图中。在构造最小生成树(MST)时,原始图应该是一个加权连通图。我们假设MST中所有的边开销都是不同的。

根据割的性质,如果在割集中有一条边的权值或代价在割集中的所有边中最小,则该边应被包含在最小生成树中。

5.2。例子

我们取一个加权连通图

在这个例子中,一个切割将图形分割G成两个子图S_1(绿点)S_2(粉红色的顶点)。裁剪套装G(e2, e3, e5, e6)。根据割的性质,最小生成树中应该存在来自割集的最小加权边G。这里,来自割集的最小加权边为E5

现在我们要构造一个最小生成树G检查边缘的天气E5是否存在:

这是最小生成树之一G正如我们所看到的,边缘E5出现在这里。所以我们可以说切割特性对这个图很适用G

其他的图表雷竞技app官网网站呢?cut属性是否适用于所有其他最小生成树?让我们在下一节揭晓答案。

5.3。切割财产证明

现在,为了得出切割性质对所有最小生成树都适用的结论,我们将在本节给出一个正式的证明。

让我们假设我们建立了一棵最小生成树T从图G。我们还定义了一个切口C哪个把顶点集分成两个集合P问。进一步,我们假设存在一条边E_C加入两套P,问,权值最小。

现在我们从假设这条边开始证明\ mathbf {E_C}不是MST的一部分\ mathbf {T}如果我们把E_CMST的T。如果我们包括E_CT,它会创建一个周期。但是根据MST的定义,循环不能成为MST的一部分。

现在,如果我们分析MSTT在我看来,一定有些优势T,就叫它K,除了E_C哪个有一个端点P另一个终点问。一开始,我们假设E_C在所有连接的边中权值最小的P问这意味着这条边\ mathbf {K}重量必须大于\ mathbf {E_C}

因此T是一棵生成树,但不是最小生成树。如果我们包括这条边E_C然后构造MST, MST的总权值T会比前一个小。同时,T不能同时包含E_CK因为这会产生一个循环。因此我们的初始假设是E_C不是MST的一部分T应该是错的。

因此,我们可以得出结论,割集中的最小加权边应该是该图的最小生成树的一部分。

让我们用一个例子来简化证明:

我们取一个连通加权图G。现在我们来定义一个切线CG:

伤口C把图G成两个子图P问。现在有两条边相连P问其中E_C为最小加权边。首先,我们将构造一棵最小生成树TG不包括边缘E_C:

最小生成树的总权值T这是19。之前我们定义过E_C是割集中最小的加权边。意思是边的重量K应该大于边吗E_C。在这种情况下,当前构建的生成树不是MST,因为我们可以构建一棵生成树,它的权重可以小于当前的生成树:

如我们所见,当我们把边缘也算进去K在生成树中,生成树的总权值变成19哪个比我们构造时的重量高T通过包含边缘E_C因此,如果我们包括这条边\ mathbf {K},那么它就不是最小生成树了。

因此,我们证明了一个连通加权图所对应的最小生成树应包含割集的最小加权边。

5.4。应用程序

最短路径算法整洁的算法克鲁斯卡算法使用cut属性构造最小生成树。

6.结论

在本教程中,我们讨论了最小生成树中的切割属性。

我们给出了切割性质的正确性,并证明了切割性质对所有最小生成树都是有效的。

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